La simetría en el arte, las matemáticas y la física.

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// 22/02/2016
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La simetría en el arte, las matemáticas y la física. Constancia y cambio en el multiverso

Manuel Navarro

La simetría como estructura subyacente
Solemos asociar el concepto de simetría a imágenes tales como la fachada principal del Partenón o la letra X. A veces extendemos su uso a otros ámbitos, como al hablar de relaciones personales o de estructuras de estado asimétricas. Sin embargo, el concepto de simetría es mucho más profundo y fructífero y, junto al concepto de ruptura de simetría, ayuda a entender todo lo que es y cómo ha llegado a ser. Aunque una adecuada exposición del tema requiere el uso de una matemática relativamente compleja, puede merecer la pena hacer un brevísimo recorrido a vista de pájaro soslayando, casi por completo, el formalismo matemático.

El concepto más habitual de simetría, o simetría especular, corresponde a imágenes en las que, al ser dobladas por la mitad, sus dos fragmentos coinciden –caso de la fachada principal del Partenón, si obviamos los bajorrelieves-. Esto puede formalizarse matemáticamente con la expresión (x, y) = (-x, y). Es decir, los puntos a la misma altura “y” y a la misma distancia del eje “x”, pero en sentido opuesto, son idénticos. La simetría especular es un caso particular de simetría geométrica, y esta del concepto general de simetría que puede definirse como sigue:

Dada una transformación T y un objeto A, decimos que A es simétrico bajo T, si y solo si T(A) = A (es decir, si la transformación T mantiene el objeto A invariante). A puede ser cualquier tipo de objeto (concreto o abstracto) y T cualquier tipo de transformación. También puede identificarse la existencia de una simetría si al movernos dentro del objeto de acuerdo con T no observamos diferencias. La simetría es parcial si solo mantiene algunas características de A invariantes.

Por ejemplo, las fachadas laterales del Partenón poseen otro tipo de simetría geométrica, la traslacional, ya que si copiamos y trasladamos un fragmento, a derecha o izquierda, los 4’3 metros que hay entre los ejes de las columnas (o un múltiplo de esto), el aspecto general no cambia (estrictamente, para que existiera tal simetría la fachada tendría que ser infinita). Expresado matemáticamente, podemos afirmar que una imagen de la fachada lateral del Partenón no cambia si aplicamos la transformación T(x,y) = (x + n x 4’3m, y), donde n es cualquier número natural. Es decir, si movemos todos los puntos de una imagen de dicha fachada 4’3m (o un múltiplo de esto), a derecha o izquierda, la imagen se mantiene idéntica (excepto en los extremos, a no ser que fuera infinita). Alternativamente, desde la segunda versión de la definición, podemos afirmar que si nos encontramos en cualquier punto de la fachada lateral y damos saltos (laterales) de 4’3 metros no observaremos ninguna diferencia entre el punto de partida y el final.

Otro concepto interesante de simetría geométrica es la rotacional. Si giramos una rueda con radios el ángulo definido por dos radios adyacentes (o un múltiplo de esto) el aspecto de la rueda no cambia. Por ejemplo, en el caso de la imagen de una rueda con doce radios, la transformación T(α,r) = (α + n x 30º, r) mantiene la imagen invariante (la situación de cada punto en la rueda está definida por un ángulo α y una distancia al centro r). Es decir, si giramos la imagen 30º (o un múltiplo de esto) la imagen final es idéntica. Si la rueda es “sólida”, cualquier giro mantiene su aspecto. Esto es, la rueda es invariante bajo la transformación T(α,r) = (α+α’,r), donde α’ es un giro cualquiera. Un caso más llamativo es la simetría de escala de los fractales, consistente en que a cualquiera que sea la escala o magnificación a la que los contemplemos, su aspecto no varía. Los árboles poseen simetría de escala (aproximada): una rama, de cualquier tamaño, tiene un aspecto muy parecido al de un árbol completo. Mientras que las simetrías anteriores han sido usadas profusamente tanto en la pintura figurativa como en la abstracción, la simetría de escala es característica de la obra de Pollock y es inseparable de su capacidad de fascinación.

Recuadro 1

 

Hemos descrito simetrías espaciales, pero podemos considerar como variable independiente al tiempo e identificar simetrías, por ejemplo, en la música. La estructura tradicional de las canciones posee una simetría traslacional de tipo abab, donde b es el estribillo. En las sonatas de Domenico Scarlatti la simetría también es traslacional pero de mayor complejidad: abcdabcd. En otro plano, encontramos una nueva simetría al ascender tonalmente, ya que todas las octavas poseen exactamente la misma estructura (correspondiente al modo).
Las simetrías geométricas son un caso particular de simetría matemática, cuyas variables pueden ser totalmente abstractas. Un ejemplo sencillo es el de las funciones simétricas, como la función coseno (con forma de onda), una de cuyas simetrías es traslacional, con constante de desplazamiento igual a la longitud de onda (esa longitud no tiene porqué ser espacial o temporal). Además posee distintas simetrías centrales (respecto a un punto) y especulares. El conjunto de simetrías de un objeto matemático puede analizarse a su vez como estructura matemática. El conocimiento de esta estructura ayuda a los matemáticos a entender la estructura del objeto original (las combinaciones de transformaciones que mantienen invariante al objeto son informativas acerca de la estructura de este).
En física, la importancia del concepto de simetría queda reflejada en un comentario del premio Nobel P.W. Anderson: “Es tan solo una ligera exageración afirmar que la física es el estudio de las simetrías”. Por ejemplo, las importantísimas leyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento angular se derivan de la simetría de sus ecuaciones respecto a desplazamientos continuos en el tiempo, lineales y angulares, respectivamente. Otras simetrías, independientes del espacio y el tiempo o “internas”, establecen la conservación de distintas magnitudes como la carga eléctrica. Las leyes de conservación son muy importantes ya que acotan de manera radical los estados que puede adoptar un sistema en el futuro (y por tanto, posibilitan la realización de predicciones). De la simetría de las estructuras que describen los bosones (por ejemplo, los fotones) se deriva que estos pueden compartir estado cuántico, al contrario que los fermiones (por ejemplo, el electrón o el protón), que son anti-simétricos. Esto es la causa de que dos objetos (que están hechos de fermiones) no puedan compartir el mismo lugar. Aún más fascinante, la estructura de las simetrías internas de las ecuaciones que describen las fuerzas fundamentales de la naturaleza determina la existencia de las distintas partículas elementales. Si alguno de los estados elementales asociados a esas estructuras está “vacante”, puede predecirse la existencia de una nueva partícula y características fundamentales de la misma (así se predijo, por ejemplo, el bosón de Higgs). Aunque estas consideraciones pueden resultar un poco confusas para el no iniciado, quizás transmitan, al menos, el “aroma” del asunto.

La ruptura de simetría como generador de complejidad
Si bien la manifestación de simetrías por parte de un sistema puede parecer algo “positivo”, de hecho la evolución del universo, inclusive la sociedad humana, está jalonada por rupturas de simetrías. En un sistema perfectamente simétrico todos sus elementos y las relaciones entre ellos son idénticos. Para que aparezca complejidad es necesario que se produzcan rupturas de simetría que posibiliten la especialización (diferenciación) y las estructuras complejas (integración). Las rupturas de simetría suceden cuando el sistema se encuentra en un “estado crítico”, en los que pequeñas fluctuaciones empujan al sistema en una determinada dirección (una forma específica de ruptura de la simetría).

En sus primeros instantes el universo era totalmente simétrico, un campo de energía perfectamente homogéneo, pero inestable. Esto último es debido a que el estado “supersimétrico” no corresponde al de mínima energía. La inestabilidad era tal que al cabo de tan solo 0’000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.1 segundos(10 -43 s) tiene lugar la primera ruptura de simetría, en la que aparecen la gravedad y las primeras partículas. Conforme el universo se expande y la temperatura desciende (desde unos 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 grados, 10 32 K) suceden nuevas rupturas de simetría y surgen nuevas fuerzas y partículas.
Al cabo de unos 300.000 años, cuando la temperatura alcanza un nivel suficientemente bajo (unos 3000 grados), las partículas comienzan a integrarse en estructuras estables: los átomos. Las rupturas de simetría pueden desembocar en diferentes soluciones (a las ecuaciones) y, de hecho, desde muchas direcciones de la física se apunta a un multiverso en el que cada universo ha “cristalizado” de manera distinta y, por tanto, con leyes de la física propias
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Recuadro 2

En el extremo opuesto, la evolución social responde también a rupturas de simetría. En las sociedades primitivas todos los individuos ejercían aproximadamente las mismas funciones (excepto por la asimetría sexual). A partir del Neolítico surge la especialización, que continúa hasta nuestros días (seguimos hablando de nuevas profesiones) y permite estructuras sociales cada vez más complejas. Otro ejemplo corresponde al desarrollo ontogenético. Inicialmente, todas las células del embrión son idénticas. Progresivamente las células se diferencian hasta alcanzar varios centenares de tipos, que se integran en una gran variedad de tejidos, órganos y sistemas, lo que posibilita la complejidad de los actuales seres multicelulares.

Los anteriores son ejemplos escasos y someros de estructuras simétricas y de procesos de complejificación basados en la diferenciación (ruptura de simetrías) e integración. Sin embargo, cualquier mente atenta podrá observar su ubicuidad con provecho.

Manuel Navarro, pepe calvo, rob hernandez,

Manuel Navarro
Físico. Profesor en la Universidad de Alicante.

Ejemplos de simetría en el arte y la arquitectura.